二項定理の少し楽しい問題 | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

こんにちは。

通信講座の採点をしている稲荷興心です。

今日からNFのようです。行こうと思いながら行けないような気がして来ましたが、後数日は続くので行けたら行きます(こう言うと行かない感じもしますが)。

さて、久しぶりに今日は少し良かった問題を紹介したいと思います。整数、不定方程式、二項定理が絡んだ問題で、(1)と(2)はあまり関係がなさそうな感じがするけれども、(2)を解き始めると(1)と同じ題材を扱っていたという問題でした。問題自体はあまり難しくもなく、数IIBまで勉強していれば十分に解けますが、(2)については取っ掛かりが少し見つけにくいかもしれません。

それでは問題です。2023年度の群馬大学の入試問題になります。

(1)  次の方程式の整数解をすべて求めよ。

20x+23y=1

(2)461^m−24が23²の倍数になる正の整数mをすべて求めよ。

ヒントが必要ない方はここまでで一度考えてみてください。

少し解説しておくと、(1)については以前のブログで不定方程式について書いているのでそちらを見ていただければ幸いです(そちらに載せたセミの発生の問題も面白い問題でした)。問題は(2)です。461^m−24の形のままでは23²の倍数であるかは全く判断できません。ここで23²の倍数になるかどうかを考え始めると、どこから手をつければよいか難しいです。なので一度461^m−24が23の倍数になるかどうかを考えてみることにすればだんだんと状況が掴めると思います。最大限のヒントは「461=23・20+1」です。

入試問題において、解答の最後まで見通せることはあまり多くありません。今回の問題でも最初から(1)と(2)の関係が見えた人はなかなかいないのではないでしょうか。ただ、使える手段もそこまで多くないため、知っている知識で少し試してみることが解けるかどうかの分かれ道になったのではないかと思います。まずは基本となる知識をしっかりと理解しておき、どういう場面で使えるのかを実践しながら学んでいくことが大事になるのではないでしょうか。

解答はまた後日のブログで載せたいと思います。今日は問題の紹介のブログでした。