京都大学の整数問題(ひとつのパターン) | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

こんにちは。

オンライン講座の採点をしている稲荷興心です。

稲荷塾では数IA, 数IIB, 数IIICを学んだ後に演習のクラスが2つあり、その前半を演習1、後半を演習2と呼んでいます。またそれとは別に数IIICの演習をする演習数IIICもあります。

文系の生徒は数IIICを学ぶ必要がなく、また演習2は理系の生徒向けなので、必然的に数IAと数IIBの内容の演習である演習1を複数回受けることになる場合があります。そのため、偶数年と奇数年の2回分のテキストや演習問題が用意されています。

しかし、この度もう一年分演習1のテキストを作成することになったので色々な大学の問題を解いてテキストに使用できる問題を選んでいます。さしずめ、偶数年用と奇数年用のテキストからn­≡0, 1, 2 (mod 3)年用のテキストへの変更といったところでしょうか。

その中で、整数の分野の問題を集める必要がありましたが、整数問題は多くの大学ではあまり出題されていないため、いろんな大学の問題を普通に解いているだけでは集まりませんでした。そこで整数問題がよく出る大学から集めることにしました。ズバリ京都大学です(東大は難解な空間図形の問題が頻出のイメージです)。

集めた整数問題をいくつか解いているうちに、思考の最初のステップが同じである問題があることに気がついたため、今回はそれらの問題について紹介したいと思います。

今回のブログでは問題の紹介だけに留め、次回解説をしてみたいと思います。

(i)            2以上の自然数nに対し、nとn²+2がともに素数となるのはn=3の場合に限ることを示せ(2006年 京都大学)

(ii)           素数p, qを用いて、p^q+q^pと表される素数をすべて求めよ(2016年 京都大学 理系)

(iii)         n³-7n+9が素数となるような整数nをすべて求めよ(2018年 京都大学)

これ以外にもいくつかこのパターンに合致する問題はありましたが、あまりたくさんの問題を載せても仕方がないのでこれぐらいにしておきましょう。またこの問題を解くためのヒントはブログの前半部分で触れているので探してみてください。個人的に3問とも面白い問題なので是非考えてみてください。