ご当地入試問題(解答解説編) | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

こんにちは。

通信講座の採点をしている稲荷興心です。

今日は昨日のブログの続きです。昨日は問題の紹介だけでしたが、今日は面白かったポイントについて書いてみたいと思います。最初に昨日紹介した問題を再掲しておきます。2022年度の長崎県立大学後期の入試問題になります。

xについての方程式2log₂ x−log₂(x−1)−p=0 (pは実数の定数)…①がある。次の問いに答えなさい。

(1)  p=2のとき、①の解を求めなさい。

(2)  a=2^pとするとき、x²−ax+a=0が成り立つことを示し、①が異なる2つの解を持つためのpの範囲を求めなさい。

(3)  (2)において、①の異なる2つの解をα、βとするとき、α³+β³−9α²β²の最小値と、そのときのpの値を求めなさい。

最初に解答を見ていきましょう。この問題については一度解いた方が楽しめると思うので、数IIBまで学習が済んでいれば、下の解答を先ずは読まずに解いてみることをお勧めします。

(解答)

(1)  p=2とすると① : 2log₂ x−log₂(x−1)−2=0

真数条件からx>1が必要で、①を変形すると

2log₂ x=log₂(x−1)+log₂4

log₂ x²=log₂4(x−1)

x²=4(x−1)

(x−2)²=0

x=2、これはx>1を満たす。

(2)  a=2^p よりlog₂a=pであり、① : 2log₂ x−log₂(x−1)−log₂a=0

これを変形してx²−a(x−1)=0

よってx²−ax+a=0が成立する。

真数条件よりx>1であるので、①が異なる2つの解を持つためにはx²−ax+a=0がx>1に異なる2実数解を持てばよい。また、a=2^p>0に注意して、求める条件は以下のようになる。

f(x)= x²−ax+aとおいて、f(x)=0の判別式をDとすると

f(1)>0

D=a²−4a>0

1<a/2

よって

1>0

a<0, 4<a

2<a

以上より4<aであれば条件を満たす。よってa=2^pより2<pが求める条件となる。

(3)  ①の解とx²−ax+a=0 の解は一致し、解と係数の関係から(2)のaについて、

α+β=a

αβ=a

となる。

α³+β³−9α²β²=(α+β)³−3αβ(α+β)−9(αβ)²=a³−3a×a−9a²=a³−12a²

ここでg(a)= a³−12a²とおき、4<aにおけるg(a)の最小値を考える。

g’(a)=3a²−24a=3a(a−8)

g(a)の増減表をかくと以下のようになるから

よってg(a)はa=8において最小値をとり、g(8)=−256であるから、a=2^p より

α³+β³−9α²β²はp=3において最小値−256をとる。

かなり長い解答になってしまいましたが、理解できたでしょうか。昨日のブログにもあったように、対数法則、二次方程式の解の配置、解と係数の関係、微分の数IAから数IIBの幅広い4つの分野から出題されていて、うまく組み合わせたものだなと感心するばかりです。一個一個の小問は誘導も丁寧で非常に取り組みやすい内容になっていますが、基礎が怪しいと解けなくなる問題だと思います。ただ問題として少し残念な点は(2)で軸や関数値の条件を考えずに判別式Dの条件だけでも同じ答えが出てきてしまうという点があります。もう少し係数などをいじることによって解消できないか後で考えてみたいと思います。

2022年度の大学入試問題解答集の攻略もあと残すところ、九州の数大学と琉球大学だけになりました。全国津々浦々いろいろな問題がありましたが、地域性は入試問題に現れるのでしょうか。京大の問題は誘導が少なく察しろと言わんばかりのいけずさを感じますし(笑)。

また、面白い問題があれば今後も紹介したいと思うので、見かけた際は一度トライしてみてください。昨日と今日はご当地入試問題の紹介でした。