第四回ポイント講座(数IIB 指数対数 不等式) | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

こんにちは。

オンライン講座の採点をしている稲荷興心です。

稲荷塾の駐輪場にアボカドの鉢を置かせてもらっていますが、昨日は最近にはない暑さだったため、水やりをしなかったことにより萎れていました。慌てて水やりをしましたが回復してくれるか心配です。

さて、採点中に感じた典型的なミスや勘違いについて書くブログの第四回目です。今回は数IIBの指数対数の範囲の「log_0.1(x+1)<log_0.1(3x-2)を解け」といった問題について書いてみたいと思います。この問題では2点ほど注意が必要です。

注意点を挙げる前に対数について確認しておきましょう。

A^B=Cに対して

log_AC=B (A>0, A≠1)

と定義されます。Aは底、Cは真数と呼称されます。

つまり対数においてはA>0であるため、C>0が必要です。

また、このことから、y=a^xとy=log_axは逆関数になっていることがわかります(詳しくは最短でマスターする数学p.260~262を参照)。つまり二つの関数のグラフはy=xに関して対称になっています。

ここから本題です。

注意が必要な点の一つ目は、真数の条件を確認するということです。

log_0.1(x+1)<log_0.1(3x-2)

この式においてはx+1と3x-2が真数なので、

x+1>0

3x-2>0

よりx>2/3が必要となります。この条件を忘れてしまっている解答が多く見受けられます。真数条件は求めた答えについて検討する際に用いるため、後で確認すれば良いと考えがちです。しかし、対数法則を用いた変形によって真数が変化する場合があるので、混乱したり忘れたりするのを防ぐために解答の最初に真数について確認することをお勧めします。

真数の条件を確認したところで、真数の比較を始める前に底を確認しておきましょう。真数同士を比較するためには底を合わせる必要がありますが、この問題においては揃っているので割愛します(揃っていない場合の揃え方については最短でマスターする数学p.258~260を参照、対数法則が指数法則から導けることも確認しておきましょう)。

ここで注意が必要な点の二つ目です。対数は底によって単調に増加するかどうかが変わります。y=a^xとy=log_axの二つのグラフはy=xに関して対称であるということは確認しましたが、y=a^xのグラフについて考えた場合にaの値によってグラフの形が異なっています。0<a<1のときxに伴って単調減少、1<aのときxに伴って単調増加です。

つまりy=log_axのグラフについても、aの値によってグラフの形が異なります。

このことからy=log_axは0<a<1のときxに伴って単調減少、1<aのときxに伴って単調増加していることがわかります。

問題文の式についてみてみると、底が0.1となっていることから、真数が大きくなるに従って対数は小さくなることがわかります。この点を忘れている解答もよくあります。このことに注意して解答を作成すると以下になります。

解答

log_0.1(x+1)<log_0.1(3x-2)のとき

x+1>3x-2

3/2>x

ここで真数条件よりx>2/3が必要

よって求めるxの範囲は3/2>x>2/3

指数対数の分野は内容が少ない上にいくつかの典型的な問題があります(例えば累乗の桁数や一番大きな桁の数字を求める問題など)。なので勉強しやすい分野だと思います。典型問題に慣れて取りこぼしを減らしていきましょう。