三項間漸化式を解くときになぜ二次方程式を解くのかについての話 | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

こんにちは。

通信講座の採点をしている稲荷興心です。

最近は雨の気配があまりないので、天気予報を見ていなかったですが最高気温が30度以下になる時期が近づいてきましたね。自宅ではライチやリュウガン、アボカド、グアバ、パッションフルーツ、パイナップルなどの熱帯植物を育てているので、おおよそ最低気温が10度を下回りそうになると部屋の中へと取り込む必要が出てきますが、その時期も近いようです。

さて、今日は化学の話について書こうと思い書き始めたのですが、思ったよりも図の作成などに苦労し、完成しなさそうなので他の話題について書こうかなと思います。近いうちに今日書こうと思っていた化学についてのブログも書くので見かけたらぜひ読んでくださいね。

最近は出版された参考書「最速最深中学数学」についてのブログが多くなっていて、少し数学の話題から離れていたので何か書ける内容はないかなと探していましたが、なかなかちょうどいい話題がないですね。仕方がないので最近見かけた問題のエッセンスについて少し書いてみようかなと思います。

入試問題そのままというわけではないですが、こういった内容でした。2022年度の岡山大学の問題です。

「α, β, γを実数とし、βは0でないとする。数列{a_n}が以下の漸化式を満たすとき、数列{a_n+1-γa_n}が等比数列となるγは最大何個存在するか。

a_n+2+αa_n+1+βa_n=0 」

三項間漸化式の解き方は有名だと思うので説明は割愛しますが、a_n+2をx²、a_n+1をx、a_nを1に変換した二次方程式を解けば、上の問題で言うところの数列{a_n+1-γa_n}のγや公比が求まります。二次方程式の実数解は高々2個であることから答えは2になるのは当たり前ですが、ではなぜそうなるのかと聞かれたら少し詰まりませんか？

多くの生徒が二次方程式を解けば三項間漸化式が解けることについては知っていますが、なぜ二次方程式を解けば三項間漸化式が解けるようになるのかについては理解できていない場合があります。つまり二次方程式の出どころを知らないと言うことです。

この二次方程式の出どころは非常に簡単で、等比数列になるとすれば…と考えているだけです。つまり数列{a_n+1-γa_n}が公比δの等比数列になるとすると、以下のように表せてそれを変形しているだけです。

a_n+2-γa_n+1=δ{ a_n+1-γa_n }

a_n+2-(γ+δ)a_n+1+γδa_n=0

元々の漸化式はa_n+2+αa_n+1+βa_n=0であることから

α=-(γ+δ)

β=γδ

を満たすようなγとδに対して、数列{a_n+1-γa_n}は等比数列になる。

γとδは解と係数の関係の逆からx²+αx+β=0の解となるので、実数δは

α²-4β<0のとき、存在しない

α²-4β=0のとき、1個

α²-4β>0のとき、2個

つまりδの数は最大2個となる。

というわけで、三項間漸化式は多くとも2個の等比数列に変形できることがわかりました。こういった聞かれ方が変わるだけで急に解答の書き方がわからなくなるような場合は、基礎が少し疎かになっている場合が多いです。普段何気なく使っている方法についてなぜそれが使えるのかを知っておくのは大事です。また、今回の場合において、二次方程式が重解だった場合に等比数列に直してからの処理方法などについても知っておかなければいけません。漸化式は色々と方法論があるので、どうすれば良いのか、なぜその方法を選択するのかという2点を意識し勉強すると良いでしょう。

今日は久しぶりに数学の話題でした。当たり前のことが書いてあるなと思っていただければ良いなと思っています。