第十四回ポイント講座(数IIB 数列 漸化式 特殊解) | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

こんにちは。

オンライン講座の採点をしている稲荷興心です。

昨日深夜はテニスを観戦していましたが、全仏の男子シングルスでは第二シードが破れる波乱が起きていました。前哨戦が良かっただけに残念ですね。センターコートの広さが不利に働いているようにも感じました。

さて、採点中に感じた典型的なミスや勘違いについて書くブログの第十四回目です。前回、前々回に引き続き、漸化式の解き方について書いてみたいと思います。これまでの二回では特殊解の見つけ方について注目してみましたが、今回も最初は特殊解を使った解法を考えてみたいと思います。例題は以下になります。

「a₁=1, a_n+1=3a_n+2ⁿ の一般項a_nを求めよ」

前回の最後で「特殊解の設定は等比数列にするのに邪魔な部分(今回は2ⁿ)の形に近い形にするとうまくいく」ことと「特殊解はa_n+1に対しては(n+1)、a_nに対してはnの形で代入する」ことを確認していました。今回の例題においては、どのような形で代入すれば良いでしょうか。

特殊解は2ⁿに近い形にするので二つほど特殊解の置き方の可能性が考えられます。

1)     αⁿのような定数の累乗の形

2)     α・2ⁿのような2の累乗に定数をかけた形

どちらも等比数列の形に変形できさえすれば問題なく解けると思いますが、1)と比較して2)の方が明らかにαの値が求めやすいのでそちらを採用しましょう。

先ほど触れたように「特殊解はa_n+1に対しては(n+1)、a_nに対してはnの形で代入する」ので、2)を採用するとa_n+1にはα・2ⁿ⁺¹を、a_nにはα・2ⁿを代入すれば特殊解が求まることになります。

a_n+1=3a_n+2ⁿ　・・・ ①

α・2ⁿ⁺¹=3α・2ⁿ+2ⁿ　・・・ ②

2α・2ⁿ=3α・2ⁿ+2ⁿ

α=-1

求まった特殊解から漸化式は以下のように変形できます。この式は①-(②のαを-1にした式)で求められます(前回、前々回参照)。

a_n+1+2ⁿ⁺¹=3(a_n+2ⁿ)

よって一般項は以下のように求まります。

a_n+1+2ⁿ⁺¹=3(a_n+2ⁿ)

a_n+2ⁿ=(a₁+2¹)・3^n-1=3ⁿ

a_n=3ⁿ-2ⁿ

前々回からの三回で特殊解を用いれば二項間漸化式のいくつかのパターンで一般項が求まることがわかったと思いますが、今回の例題においては他の方法も存在します。その方法においても、発想は余分な2ⁿを処理したいというところから始まります。つまり両辺を2ⁿ⁺¹(もしくは2ⁿ)で割る方法です。

a_n+1=3a_n+2ⁿ

a_n+1/2ⁿ⁺¹=3/2・(a_n/2ⁿ)+1/2

するとa_n/2ⁿが一つのまとまりとなっていて、前々回のブログで取り上げた漸化式の形に変形できました(a_n/2ⁿ=b_nとするとb_n+1=3/2・b_n+1/2となります)。つまりここからは1/2を分配して等比数列の形にすれば良いことが分かります。

この方法での解答は以下となります。

a_n+1/2ⁿ⁺¹=3/2・(a_n/2ⁿ)+1/2

α=3/2・α+1/2

α=-1

よってa_n+1/2ⁿ⁺¹+1=3/2・(a_n/2ⁿ+1)

a_n/2ⁿ+1=( a₁/2+1)・(3/2)^n-1=(3/2)ⁿ

a_n/2ⁿ=(3/2)ⁿ-1

a_n=3ⁿ-2ⁿ

また3ⁿ⁺¹で割ることで階差数列として扱う方法もあります。

a_n+1=3a_n+2ⁿ

a_n+1/3ⁿ⁺¹=(a_n/3ⁿ)+1/3・(2/3)ⁿ

a_n+1/3ⁿ⁺¹-(a_n/3ⁿ)=1/3・(2/3)ⁿ

n≧2において両辺1〜(n-1)まで足すと

a_n/3ⁿ-a₁/3=1/3・(2/3){−(2/3)^n-1}/(−2/3)

(第六回ポイント講座参照)

a_n/3ⁿ=1/3+(2/3){−(2/3)^n-1}

a_n/3ⁿ=1/3+2/3-(2/3)ⁿ

a_n=3ⁿ-2ⁿ

これはn=1のときも表しています。

いずれの方法でも一般項が求まることが分かりました。

今回取り上げた漸化式の形は三項間漸化式を変形した際に一つの漸化式式しか作れないような場合においてもよく出てくるので、どんな方法でも良いですがしっかりとできるようにしておきましょう。

これまでの三回で二項間漸化式において一般項を求める場合に特殊解が役に立つことを説明してきました。ただ、どの問題と出会っても一回一回どのように特殊解を置くのかについては考える必要があるので、特殊解とひとまとめにしてしまうのではなく、柔軟に使いこなせるようにしておきましょう。