第十六回ポイント講座(数IIB 三角形の面積の求め方 ベクトル ヘロンの公式)

query_builder 2023/06/10
ブログ
図15-1

こんにちは。

 

オンライン講座の採点をしている稲荷興心です。

前回のブログでパワポを使用して図を作成してみました。簡単に分かりやすい図が書けて愕然としました(これまでの苦労はなんだったのかと思いました。)

 

さて、採点中に感じた典型的なミスや勘違いについて書くブログの第十六回目です。今回は前回の最後に載せた例題の(1)の三角形の面積の求め方について書こうと思います。四面体の体積の求め方については次回のブログで取り上げたいと思います。

 

まずは例題を再掲しておきます。

A : (1, 0, 3)、B : (2, -2, 6)、C : (3, 1, 4)、D : (1, -3, 0)とするとき、

(1)  三角形ABCの面積を求めよ

(2)  四面体ABCDの体積を求めよ

 

三角形の面積を求めるといえば(底辺)×(高さ)÷2ですが、二つの辺の長さとその間の角の大きさがわかっていると三角比の利用により三角形の高さを求めることができます。(三角比の変換公式などを忘れていた場合には復習しておきましょう。第一回ポイント講座でも触れています。)

 


この考え方から二つのベクトルによってできる三角形の面積を求めることができます。


また、xy平面で三角形の面積を求めるときは、ベクトルを成分表示してみると(I)の式から簡単な形(II)に変形できることが分かります。

 


さて本題の、xyz空間における三角形の面積について、ベクトルを成分表示することで求めてみましょう。すると以下のようになり、(III)の式が得られます。


ただし、(III)の式は綺麗な式ではありますが、個人的には覚えにくくあまり使うことのない式であると思っています。二つの成分表示されたベクトルが与えられたときには直接(I)の式に代入してあげるのが計算ミスを減らす方法だと思います。

 

ここまでの話を使用して例題にあげた三角形の面積を求めてみましょう。前回と同様に三角形ABCを作っている二つのベクトルを求めてみると次のようになります。


これを(I)の式に代入すると面積が求まります。


また今回のテーマとは少しずれますが、ヘロンの公式も一番初めに出てきたS=(1/2)ab sinθから出てきます。少し計算してみましょう。

 

結局、三角形の面積を求める際に使用するいくつかの公式はたいていS=(1/2)ab sinθから出てきたことが分かりました。いずれの公式にしてもすぐに作れると思うので、公式が導かれる理由まで押さえておいて、覚えているか怪しくなったら自分で作ってみると良いでしょう。そういった作業を何度か繰り返すことでどういった場合に公式を使えるかが見えてくると思います。


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