第十回ポイント講座(数IIB 三角関数 合成 最大値と最小値) | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

こんにちは。

オンライン講座の採点をしている稲荷興心です。

昨年沖縄でパッションフルーツを食べ、余った種を蒔きましたが芽が出ませんでした。最近たまたまスーパーに売っていたため、買ってみることにしました。少し調べてみると種の表面が分厚いため、種の表面を削ると発芽に良いとあり、再度発芽するかを観察していたところ、先端を削った種のみで発芽が見られました。面白いですね。ちなみにパッションフルーツのパッションは情熱という意味ではなく十字架という意味らしいです。花の形から来ているようです。

さて、採点中に感じた典型的なミスや勘違いについて書くブログの第十回目です。今回は数IIBの三角関数の問題「5 sinθ+12 cosθ+3 (0≦θ≦π/2)の最大値と最小値を求めよ」について書きたいと思います。合成を使うところが初学者には難しく感じるかもしれませんが、合成を行った後もθの範囲について考えないといけないところが実は厄介です。

最初に合成について確認しますが、その前段階として重要な公式である加法定理を見ておきましょう。

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

今回は本題ではないので触れませんが、二倍角や半角、また和積や積和などの公式も加法定理から導かれるので、しっかりと理解しておきましょう(最短でマスターする数学p.235~)。

今回はsinの形に合成する場合を考えてみます。合成は加法定理の逆を行うようにすれば良いですが、多くの場合でそのまま適用できる形になっていません。

5 sinθ+12 cosθ=sinθ×5+cosθ×12

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

これら二つの式を比較した場合、cos²β+sin²β=1となっていますが、5²+12²=169(=13²)であるため、上の式は加法定理の形になっていません。

そこで今回は13で括ることでsinθとcosθの係数の二乗の和を1にします。

sinθ×5+cosθ×12=13(sinθ×(5/13)+cosθ×(12/13))

(5/13)²+(12/13)²=1

結果として、cosα=5/13, sinα=12/13とすれば加法定理が適用できる形になることがわかりました。

sinθ×5+cosθ×12=13(sinθ×(5/13)+cosθ×(12/13))

=13(sinθcosα+cosθsinα)=13sin(θ+α)

前置きが長くなってしまいましたが、ここからが本題です。下の式で最大値と最小値はどのように求めれば良いでしょうか。

5 sinθ+12 cosθ+3=13sin(θ+α)+3  (0≦θ≦π/2)

(ただしαはcosα=5/13, sinα=12/13となる角度とする)

sinの値の範囲は角度によって決まりますが、今回は0≦θ≦π/2であるため、α≦θ+α≦π/2+αとなっています。この値の範囲について図示してみると、π/4<α<π/2であることから以下のようになります。

結果として、θ+α=αとなるとき(●)よりもθ+α=π/2+αとなるとき(○)でsin(θ+α)の値が小さくなっていることがわかります。またsin(θ+α)の値はθ+α=π/2のとき(△)で一番大きくなり1となります。

ここで最小値を計算するときのコツです。合成を行った後の式に代入しようとするのは面倒です。なので最初の式に代入するようにしましょう。

θ=π/2のとき

13sin(θ+α)+3=13sin(π/2+α)+3 : 面倒

5 sinθ+12 cosθ+3=5 sin(π/2)+12 cos(π/2)+3 : 簡単

以上まとめると解答は以下になります。

5 sinθ+12 cosθ+3=13sin(θ+α)+3  (ただしαはcosα=5/13, sinα=12/13となる角度)

0≦θ≦π/2よりα≦θ+α≦π/2+α

よって最大値はθ+α=π/2のとき16

最小値はθ+α=π/2+α、つまりθ=π/2のとき8

今回のブログは合成を行った後の範囲の考察の重要性について書きましたが、三角関数が関連する問題はどのような問題であっても範囲について考えることが重要になってきます。常にsinやcosの値の範囲については頭の片隅に置いておきましょう。