公式を使いこなすためのアドバイス

query_builder 2024/04/12
ブログ
ブラーマグプタの公式




こんにちは。

 

通信講座の採点をしている稲荷興心です。

急に寒くなったせいか、体の調子がすこぶる悪いような気がします。特に腰痛が…。最近座りっぱなしで行う趣味ができてしまったことによって、体を動かすことが減ったのも良くないような気がします(新しい趣味については、ある程度形になったら一度ブログにも書いてみようかなと思っています)。楽しすぎて夜更かしも増えました…。物事のバランスというものも重要ですね。のめり込むのは悪いことではないですが、無理をしてまでやってはいけませんね(笑)。反省しています(とはいってもなかなか止め辛いのですが)。

 

さて、僕の趣味と健康の話は置いておくことにして、最近生徒とした会話について書いてみたいと思います。唐突ですが、「公式は全て瞬時に導ける」といっているCMが昔あったのを覚えていますか(もしかしたら今もあるかもしれません)。某予備校の数学の講師が授業中に話している内容の一部を切り取ったものだったようです(他の講師のセリフの方が有名かも…)。どういった意図を持って語られたのかは文脈を知らないのでなんとも言えませんが、僕個人としてはすごいことを言うものだと思ってしまいます(笑)。もちろん瞬時に導けて然るべき公式も多いですが、計算が煩雑で瞬時に導けるかと言われるとそうでもないなと感じる公式もいくつも思い浮かびます(ブラーマグプタの公式などどうでしょう。余弦定理をこねくり回すと勝手に求まりますが、計算は一筋縄ではいきません)。講師としてそのレベルに到達することは目標とすべきかもしれませんが、高校生にそれを求めるのは少し酷な気もします。

 

生徒には、このCMを自分流に少し解釈を加えて「公式に対しては二つのアプローチをするべきである」という話をしました。すなわち、「公式を導けること」と「瞬時に思い出せるようにしておくこと」の両方を意識して勉強しようね、という話です。短縮していうと「公式を瞬時に導けるようにする」となりかねませんが、ここには大きな隔たりがあります。

 

順を追って書いてみると、以前ブログにも書きましたが、「公式を導ける」ということは非常に重要です。公式を導くために他の公式を使用することはよくあることで、ある公式を導けるようになるということは、その公式と他の公式の関連を理解するということにつながります。こうなると覚えるべきことが最終的に減り、より公式を覚えやすくなります。他にも使える状況が限定的である公式(対数法則など)について、なぜ特定の状況でしか使えないのかを理解することで誤った使い方を避けることにもつながります。また根本的に公式についての理解が深まり、その公式を使用できる状況に気が付きやすくなることも重要なことの一つです。これは以前のブログで触れた通りです。

 

また「公式を導ける」ようになっても、やはり「公式を瞬時に思い出せる」ことは公式を使えるということにおいて重要です。例を挙げて説明しましょう。三角関数の公式の多く(和積、積和、合成、二倍角、半角etc.)は加法定理を用いれば短時間で導けるので覚える必要がないと思っている高校生は多いと思いますが、実はそうでもないように思えます。下の問題を見てください。どういった変形をすれば良いでしょうか。

cosθ+cos2θ+cos3θ<0を満たすθの範囲は?

 

和積の公式がしっかりと覚えられているとθと3θの平均が2θとなっていることから

cosθ+cos2θ+cos3θ=cosθ+cos3θ+cos2θ=2cos2θcosθ+cos2θ=cos2θ(2cosθ+1)

のように共通因数が出てきて因数分解できることが見えて簡単な問題になりますが、一回一回導けば良いと考えていると、なかなかこういった場合の発想として和積が候補にならないのではないでしょうか(三倍角でcosθの三次式にしたりするのは大変です…)。公式を使った後の形までしっかり覚えておくことによって、公式を使う場面が判断できるようになります。つまり導けるだけでは不十分だということです。

 

ということで今日は公式を使いこなせるようになるために意識しておくべきことについて2点書いてみました。どちらか一方は意識してやっているものの、もう片方はあまり意識していない、といった生徒はよく見かけるので、数学が苦手だなと感じている場合は意識するところを考えてみると良いかもしれません。自分に必要な部分を洗い出してみるというのも勉強の一環です。数学の勉強方法について見つめ直す機会になれば良いなと思っています。

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