前回のブログの問題についての解答 | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

こんにちは。

通信講座の採点をしている稲荷興心です。

昨日が祝日だったため、今日はなんだか月曜日の気分です。昨日はホームセンターに行ったりして、健康的な生活を送りました。今週も後二日ほどなので、気分をリフレッシュして頑張りたいところです。

さて、水曜日のブログは問題の紹介だけで終わってしまっていたので、今日のブログは解答ということになります。問題についても再掲しておきましょう。

(1)  次の方程式の整数解をすべて求めよ。

20x+23y=1

(2)461^m−24が23²の倍数になる正の整数mをすべて求めよ。

(2023年 群馬大学)

(1)については、以前不定方程式について書いたブログがあるので、そちらを参考にしてみてください。解答はkを整数として(x, y)=(23k−8, −20k+7)となります。この形以外でももちろん表すことができますが(余りが合えば良いだけ)、ユークリッドの互除法を使用する方法ではこの解答になると思います。

問題は(2)の方になります。まずは解答を見ていきましょう。

23²の倍数という問題文に意図を感じます。23の二乗がどうやったら出てくるかを考えてみた場合、二項定理が候補に上がってくると思います。二項定理を使って余りについて考えてみると、(23・20+1)^mの展開によって出てくる数のうち、23・20を2個以上含む部分については23²の倍数となるので考える必要はなく、結局23²で割った余りについても23の倍数になっていることがわかります。あとは余りを23で括った部分についても23の倍数となればよく、ここの部分が23の倍数になることを式に表すと(1)の方程式になっているということになります。上手く練られた問題になっていますね。おそらく部分点を与えるために(1)を追加したと思いますが、(2)だけでも十分良い問題だと思います。(1)はあまり(2)の誘導になっていない印象があるので、少し不思議な感じがする問題ですね。

いかがでしたか。最近は触れる入試問題が増えて来たので面白い問題を発見する機会も増えました。少し話題に困ったときには(笑)紹介していきたいと思います。今日は入試問題の紹介の解答のブログでした。