第十九回ポイント講座(数IIB ベクトル 内分点のベクトル) | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

こんにちは。

オンライン講座の採点をしている稲荷興心です。

6月は休みの日が少ない上に雨が多く気分が上向きにくいですね。7月になればもうすぐで夏休みという感じがしてきますが、、、

さて、採点中に感じた典型的なミスや勘違いについて書くブログの第十九回目です。今回は前回の例題について解説したいと思います。前回の例題を再掲します。

まず、点Pはどのようなところにありますか？図を載せていますが、問題に図がなくても判断できるようにしておきましょう。前回のブログの内容からABベクトルとACベクトルの係数はいずれも正で、2/8+3/8=5/8<1であることから、Pは三角形ABCの内部に位置していることが分かります。

このことからA, Q, Cはこの順に一直線に並んでいることが分かります。

また、PはBQを内分する点であることからAPベクトルをABベクトルとAQベクトルで表すと、係数の和は1になります。ここで先ほどの式を問題文の式に代入してみると以下のようになることから、(1)が解けることになります。

慣れてくると下のような解答で十分です。

次に、点Rはどのようなところにあるでしょうか。APの延長線上に存在するので以下のように表すことができます。

するとARベクトルをABベクトルとACベクトルで表したときの二つの係数の比はAPベクトルを表した場合と同じであることが分かります。

ここでRはBCの内分点となっていることから、ABベクトルとACベクトルの係数の和は1になっています。このことからlが求まり、(2)が解けることになります。

こちらも変形することで簡単に解くことができます。

ここまで解ければ、比は式をみれば求まります。

最初にAP : PRについて考えてみましょう。(2)の解答における変形から5 : 3となります。

次の比を求める前に補足説明です。前回内分点のベクトルについて、点が線分を内分する比について少し説明し忘れていました。ここで少し説明しておきます。まずは下の図を見てください。PはABをk : lに内分する点となります。

解答に話を戻しましょう。下に示した途中式の変形からBP : PQを求めてみましょう。説明にあった通り、BP : PQ=3 : 1となります。

また(2)の解答から、BR : RC=3 : 2となります。

以上から今回の問題の解答をまとめると以下になります。できていましたか？

今回のブログは例題の解説のみになってしまいました。何回かベクトルの話が続いたので、次のブログではベクトル以外のテーマについて取り上げたいと思います。