【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 8.8 反転

query_builder 2022/02/18
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【補足説明】

p.323 例題145について補足します。

解答を作る前にQの描く図形がどのような図形になるのかを考えてみます。


まず、円Oと円Aの交点にPがある場合は、OP=1 より OQ=1 なので Q=P です。


次に、点Oと点Aを結ぶ直線と円Aの交点を点Oに近い方からB,Cとします。

PがBにある場合のQの位置をB'とすると、

OB・OB'=1, OB=1-r

より

OB'=1/(1-r)

です。そうすると、

AB'=OB'-OA=1/(1-r)-(1-r)/(1-r)=r/(1-r)

なので、

OB':AB'=1/(1-r):r/(1-r)=1:r

です。結局、QはOAを 1:r に外分する点になります。


同様に、PがCにある場合のQの位置をC'とすると、

OC・OC'=1, OC=1+r より OC'=1/(1+r)

AC'=OA-OC'=(1+r)/(1+r)-1/(1+r)=r/(1+r)

OC':AC'=1/(1+r):r/(1+r)=1:r

なので、QはOAを 1:r に内分する点になります。


ここまで考えれば、Pが円Oの内側にあるときにQが円Oの外側にあり、Pが円Oの外側にあるときにQが円Oの内側にあること、Qは直線OAを軸として対称な図形上を動くこと、などからQがB'とC'を直径とする円上を動くことが見えると思います。

後は、そのことが分かりやすいようにベクトルOQのベクトル方程式を直径型に変形すると解答のようになります。


このベクトル方程式を中心半径型に変形すると、

となり、中心がベクトルOAを 1/(1-r2) 倍したところの点、半径がOAの r/(1-r2) 倍の長さの円であることが分かります。これを解答にしても良いですが、どのような円なのか分かりにくくなります。

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