【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 7.7 数学的帰納法

query_builder 2021/09/17
ブログ
ガイド

【補足説明】

p.271 最初の青色部分に


・1∈A

xA ならば x+1∈A


とあります。これを記号を使わずに書き換えると、


・1が集合Aに含まれる

x が集合Aに含まれるならば x+1 は集合Aに含まれる


となります。同じように、次の青色部分を書き換えると、


(ア) 自然数である n に関する命題 P(n) について、P(n) が真であることを示す。

⇔ ・P(1) が真であることを示す。

  ・ある自然数 nP(n) が真であることを仮定し、そのもとでは P(n+1) が真であることを示す。


です。数学的帰納法の具体的な証明方法については例題133を確認してみてください。


p.272 例題133について解説します。

与えられた等式が成立することを数学的帰納法で証明していて、証明は次の3つの部分で出来ています。


① 解答の1~3行目

n=1 のときに等式が成立することを示す。

② 解答の4~10行目

ある n で等式が成立するならば n+1 で等式が成立することを示す。

③ 解答の11~12行目

すべての自然数 n で等式が成立するという結論を書く。


そうすると下のように、では n=1 について証明し、では n=1 で成立するなら n=2 で成立、n=2 で成立するなら n=3 で成立、… とどこまでも成立していくことを証明するので、結果的にすべての n で成立することが証明できます。


1  2  3   4  5  6 …


②については、等式の nn+1 を代入したものが成立することを示しますが、このときに、n では成立することを仮定として使います。具体的には式変形の2行目から3行目で、Σk2 (シグマの下と上は k=1 と n) を n(n+1)(2n+1)/6 に直しています。


p.273 演習133の解答について補足します。

まず解答の1行目について、n=1 のとき、

なので、問題で与えられた不等式は成立します。

解答の3行目は、解答の下で説明されている通り、

を示すために、大きい方から小さい方を引いた

を計算して、これが0以上になることを示そうとしています。このとき、

nn+1 を入れると、

となることに注意してください。

解答の3行目から4行目へは、

で置き換えていますが、このとき、ある n

が成立することを仮定していますので、小さいもの(*1)を引く代わりに大きいもの(*2)を引けば結果は小さくなることから、解答の3行目から4行目の式変形にあるように

となります。

解答の4行目から7行目までの式変形は、丁寧に書くと次のようになります。

NEW

  • 講義動画と参考書、高校数学の独学に適しているのはどっち?

    query_builder 2021/09/30
  • 【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 8.1 定義

    query_builder 2021/09/27
  • 【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 7.7 数学的帰納法

    query_builder 2021/09/17
  • 【お知らせ】オンライン講座の「受講基準診断テスト」始めました

    query_builder 2021/09/13
  • 【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 7.6(7.6.4~) 漸化式

    query_builder 2021/09/08

CATEGORY

ARCHIVE