【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド　7.7 数学的帰納法 | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

【補足説明】

p.271　最初の青色部分に

・1∈A

・x∈A ならば x+1∈A

とあります。これを記号を使わずに書き換えると、

・1が集合Aに含まれる

・x が集合Aに含まれるならば x+1 は集合Aに含まれる

となります。同じように、次の青色部分を書き換えると、

(ア) 自然数である n に関する命題 P(n) について、P(n) が真であることを示す。

⇔ ・P(1) が真であることを示す。

　 ・ある自然数 n で P(n) が真であることを仮定し、そのもとでは P(n+1) が真であることを示す。

です。数学的帰納法の具体的な証明方法については例題133を確認してみてください。

p.272　例題133について解説します。

与えられた等式が成立することを数学的帰納法で証明していて、証明は次の3つの部分で出来ています。

① 解答の1～3行目

n=1 のときに等式が成立することを示す。

② 解答の4～10行目

ある n で等式が成立するならば n+1 で等式が成立することを示す。

③ 解答の11～12行目

すべての自然数 n で等式が成立するという結論を書く。

そうすると下のように、①では n=1 について証明し、②では n=1 で成立するなら n=2 で成立、n=2 で成立するなら n=3 で成立、… とどこまでも成立していくことを証明するので、結果的にすべての n で成立することが証明できます。

1　⇒　2　⇒　3　⇒ 　4　⇒　5　⇒　6　…

②については、等式の n に n+1 を代入したものが成立することを示しますが、このときに、n では成立することを仮定として使います。具体的には式変形の2行目から3行目で、Σk² (シグマの下と上は k=1 と n) を n(n+1)(2n+1)/6 に直しています。

p.273　演習133の解答について補足します。

まず解答の1行目について、n=1 のとき、

なので、問題で与えられた不等式は成立します。

解答の3行目は、解答の下で説明されている通り、

を示すために、大きい方から小さい方を引いた

を計算して、これが0以上になることを示そうとしています。このとき、

の n に n+1 を入れると、

となることに注意してください。

解答の3行目から4行目へは、

を

で置き換えていますが、このとき、ある n で

が成立することを仮定していますので、小さいもの(＊1)を引く代わりに大きいもの(＊2)を引けば結果は小さくなることから、解答の3行目から4行目の式変形にあるように

となります。

解答の4行目から7行目までの式変形は、丁寧に書くと次のようになります。