【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 7.6(~7.6.3) 漸化式

query_builder 2021/09/04
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【新しく習う言葉の読み】

特殊解:とくしゅかい

階差数列:かいさすうれつ


【補足説明】

p.259 例題123の解答の上で特殊解を用いて漸化式を解く方法について解説しています。

この方法で an+1=3an+2 という漸化式を an+1+1=3(an+1) という等比数列の形の漸化式に変形していますが、どのように考えているのかについてはp.260の青色部分を確認してください。


この問題で α=-1 は an+1=3an+2 の特殊解なので、

an : -1, -1, -1, …

は an+1=3an+2 の解の1つですが、問題の1つ目の式 a1=1 を満たしてはいないので、an=-1 ではこの問題を解いたことにはなりません。 


p.263 例題127の2つ目の解答について、2行目から3行目への式変形の左辺はp.247で学んだ「隣り合う項の差の形」を利用したシグマの計算、右辺はp.255で学んだ等比数列の和の計算です。

また、演習127の解答について、2行目から3行目への式変形の右辺ではp.249で学んだ Σk3 の公式を利用しています。


p.263 ページの最後の青色部分

an+1=an+bnan=a1bk 

について、

an=an-1+n2 (*)

に対して適用したつもりで

an=a1k2

とするのは誤りだとありますが、青色部分の式と(*)の式の大きな違いは赤字で示した部分です。

(*)の式が

an+1=an+n2

であるのと

an=an-1+n2

であるのとでは一見大した違いに見えないかもしれませんが、この細かな違いで対応が変わってくるので注意が必要だということです。


p.264 an+1-an=bn において、{bn} を {an} の階差数列というとあります。これについて具体例を挙げておきましょう。

たとえば、初項が1、公比が3の等比数列 {an} は、

an : 1, 3, 9, 27, 81, 243, …

となりますが、この数列 {an} の階差数列 {bn} は、bn=an+1-an なので、

b1=a2-a1=3-1=2,  b2=a3-a2=9-3=6,  b3=a4-a3=27-9=18, … 

すなわち

bn : 2, 6, 18, 54, 162, …

です。

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