【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 7.4 数列の和が与えられたときの一般項

query_builder 2021/08/20
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【補足説明】

p.256 例題121の解答について補足します。

3行目の計算を丁寧に書くと

3n-3n-1=3×3n-1-1×3n-1=(3-1)×3n-1=2×3n-1

となります。

答えは n=1 のときと n≧2 のときを分けて書いています。実際に n≧2 のときの 2・3n-1n=1 を代入してみると 2・30=2 となり、n=1 のときの an=3 とは異なる値になってしまいます。このように、和で数列が定義されているとき(この問題であれば Sn=3n と定義されています)は、n=1 のときの an (つまり a1)が n≧2 のときの an の規則性(この問題では an=2・3n-1)からはずれた値になる可能性があります。


p.256 演習121について解説します。

まず、問題についてですが、Σak=(n+1)2 というのは ak を k=1 から k=n まで足した結果が (n+1)2 ということなので、数列が和で定義されています。このときの Σ1/(akak+1) の値を求めるという問題なので、最初に一般項 an を求めてから Σ1/(akak+1) を計算すればよいでしょう。


解答の3行目までは、例題121と同じように一般項 an を求めています。


次に、解答の4行目以降で Σ1/(akak+1) を計算しています。これは、

1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+…+1/anan+1

を計算するということですが、ann=1 のときと n≧2 のときで異なるので注意が必要です。つまり、1/a2a3, 1/a3a4, … 1/anan+1 については n≧2 のときに an=(2n+1) なので

1/akak+1=1/(2k+1)(2k+3) ・・・(*1)

と表せますが、1/a1a2 についてだけは a1=4 なので

1/a1a2=1/4(2×2+1)=1/(4×5)

となります。(これは(*1)に含められないことを確認しておいてください)

そのため、n≧2 のとき、

Σ1/akak+1=1/a1a2+Σ1/akak+1 (最初のシグマは k=1 から k=n まで、次のシグマは k=2 から k=n まで) ・・・(*2)

のように、1/a1a2 だけを分けて計算する必要があります。

これを実際に計算しますが、計算の1行目から2行目でシグマの中を

1/(2k+1)(2k+3)=1/2(1/(2k+1)-1/(2k+3))

と変形しているのは、p.251で出てきた「部分分数に分ける」という計算方法です。


最後に、n=1 のときは Σ1/akak+1=1/a1a2 なので(*2)の変形が当てはまりませんが、1/a1a2=1/(4×5)=1/20 であり、これは(*2)の計算結果 1/20+1/2(1/5-1/(2n+3)) に n=1 を代入したものと一致します。そのため、n≧2 のときの(*2)の計算結果が n=1 のときも表すものになっているということ、つまり n の値に関係なく Σ1/akak+1=1/20+1/2(1/5-1/(2n+3)) であることが分かります。このことを書いたのが解答の下から2行目です。

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