【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド　7.4 数列の和が与えられたときの一般項 | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

【補足説明】

p.256　例題121の解答について補足します。

3行目の計算を丁寧に書くと

3ⁿ－3^n-1=3×3^n-1－1×3^n-1=(3－1)×3^n-1=2×3^n-1

となります。

答えは n=1 のときと n≧2 のときを分けて書いています。実際に n≧2 のときの 2・3^n-1 に n=1 を代入してみると 2・3⁰=2 となり、n=1 のときの a_n=3 とは異なる値になってしまいます。このように、和で数列が定義されているとき(この問題であれば S_n=3ⁿ と定義されています)は、n=1 のときの a_n (つまり a₁)が n≧2 のときの a_n の規則性(この問題では a_n=2・3^n-1)からはずれた値になる可能性があります。

p.256　演習121について解説します。

まず、問題についてですが、Σa_k=(n+1)² というのは a_k を k=1 から k=n まで足した結果が (n+1)² ということなので、数列が和で定義されています。このときの Σ1/(a_ka_k+1) の値を求めるという問題なので、最初に一般項 a_n を求めてから Σ1/(a_ka_k+1) を計算すればよいでしょう。

解答の3行目までは、例題121と同じように一般項 a_n を求めています。

次に、解答の4行目以降で Σ1/(a_ka_k+1) を計算しています。これは、

1/a₁a₂+1/a₂a₃+1/a₃a₄+…+1/a_na_n+1

を計算するということですが、a_n が n=1 のときと n≧2 のときで異なるので注意が必要です。つまり、1/a₂a₃, 1/a₃a₄, … 1/a_na_n+1 については n≧2 のときに a_n=(2n+1) なので

1/a_ka_k+1=1/(2k+1)(2k+3)　・・・(＊₁)

と表せますが、1/a₁a₂ についてだけは a₁=4 なので

1/a₁a₂=1/4(2×2+1)=1/(4×5)

となります。(これは(＊₁)に含められないことを確認しておいてください)

そのため、n≧2 のとき、

Σ1/a_ka_k+1=1/a₁a₂+Σ1/a_ka_k+1　(最初のシグマは k=1 から k=n まで、次のシグマは k=2 から k=n まで)　・・・(＊₂)

のように、1/a₁a₂ だけを分けて計算する必要があります。

これを実際に計算しますが、計算の1行目から2行目でシグマの中を

1/(2k+1)(2k+3)=1/2(1/(2k+1)-1/(2k+3))

と変形しているのは、p.251で出てきた「部分分数に分ける」という計算方法です。

最後に、n=1 のときは Σ1/a_ka_k+1=1/a₁a₂ なので(＊₂)の変形が当てはまりませんが、1/a₁a₂=1/(4×5)=1/20 であり、これは(＊₂)の計算結果 1/20+1/2(1/5-1/(2n+3)) に n=1 を代入したものと一致します。そのため、n≧2 のときの(＊₂)の計算結果が n=1 のときも表すものになっているということ、つまり n の値に関係なく Σ1/a_ka_k+1=1/20+1/2(1/5-1/(2n+3)) であることが分かります。このことを書いたのが解答の下から2行目です。