【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 5.13(5.13.6) 加法定理

query_builder 2021/06/30
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【補足説明】

p.216 積和公式は4つありますが、たとえば1つ目の

cosαcosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}

α+β=A, α-β=B, α=(A+B)/2, β=(A-B)/2 を代入して両辺に2をかけると

cosA+cosB=2cos(A+B)/2cos(A-B)/2

となり、和積公式の1つ目になります。


p.217 例題103の sin(α+β) の値を調べた別解について補足します。

1~3行目で sin(α+β)=√3/2 とわかり、0<α<π/2, 0<β<π/2 より 0<α+β<π の範囲で考えると α+β=π/3, 2π/3 と解が2つあるように見えます。(下の左の図)

しかし、cosα=1/7 が cosπ/3=1/2 より小さいことから απ/3 より大きくなるので、解は α+β=2π/3 の1つに限られるということです。(下の右の図)

p.217 演習103の解答の8~10行目について補足します。

β=2π-α のとき、(cosβ, sinβ)=(cos(2π-α), sin(2π-α))=(cosα, -sinα) なので、

問題にある①,②の方程式は、

① cosα+cosβ=8/5 ⇔ 2cosα=8/5 ⇔ cosα=4/5

② sinα-sinβ=6/5 ⇔ 2sinα=6/5 ⇔ sinα=3/5

となるということです。


また、解答のすぐ下にある説明は、解答2~3行目にある同値変形の右辺の計算についてです。

(8/5)2+(6/5)2={2(4/5)}2+{2(3/5)}2=22{(4/5)2+(3/5)2

ですが、下の図のような直角三角形を考えると、4/5=cosθ, 3/5=sinθ なので、

(4/5)2+(3/5)2=cos2θ+sin2θ=1

となります。


p.218 演習103の解答について説明されています。これをベン図で表すと下のようになります。



cosα+cosβ=8/5 (①) かつ sinα-sinβ=6/5 (②) を満たすならば、

(cosα+cosβ)2+(sinα-sinβ)2=(8/5)2+(6/5)2 (①2+②2) を満たしますが、

①, ② ⇔ ①2+②2 ではないので、①2+②2 を満たすからといって必ず ①, ②を満たすとは限りません。

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