【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 5.13(~5.13.5) 加法定理

query_builder 2021/06/25
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【補足説明】

p.211 加法定理の証明の4行目から5行目への式変形では A, B が単位円周上の点であることから OA=OB=1 を使っています。

しかし、稲荷の独習数学での証明とは違って次のようにすると、より簡単に加法定理を証明することができます。


単位円周上に A(cosα, sinα), B(cosβ, sinβ) をとる。

このとき、2点 A, B 間の距離の2乗は、

AB2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

  =2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)

また、2点 A, B を単位円周上で β だけ半時計回りに回転させた点をそれぞれ A'(cos(α-β), sin(α-β)), B'(1, 0) とすると、2点 A', B' 間の距離の2乗は、

A'B'2=(cos(α-β)-1)2+sin2(α-β)

  =2-2cos(α-β)

2点 A, B 間の距離と2点 A', B' 間の距離は等しいので、

2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2-2cos(α-β)

よって、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ


上の図のように、点 B を単位円周上で β だけ半時計回りに回転させた点を B' とすると、B' は x 軸上の点(1, 0)になります。

また、2点 A, B を同じように回転させて A', B' とすると、AB=A'B' となります。

この証明の方法であれば、稲荷の独習数学の方法のように O, A, B が三角形を作る場合とそうでない場合に分けて考える必要がありません。


p.212 加法定理の下に覚え方が書いてありますが、たとえば1行目の

c+=cc-ss

は、加法定理の1行目の 

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

を簡単に書いたものです。

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