【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 5.6 方程式, 不等式

query_builder 2021/06/08
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【補足説明】

p.193 不等式についての青色部分に

cosθ≧1/2 ⇔ -π/3+2πnθπ/3+2πn

とありますが、これについて説明します。たとえば下の図のように θ が -π/3 から π/3 の間にあれば単位円周上の点の x 座標が 1/2 以上になるので cosθ≧1/2 となります。さらに一周回って-π/3+2π≦θ≦π/3+2π  つまり 5π/3≦θ≦7π/3 であっても cosθ≧1/2 となります。これらを一般的に表すと、-π/3+2πnθπ/3+2πのときに cosθ≧1/2 となるということです。



sinθ≧1/2 については同じように考えることができます。

tanθ≧1/√3 の場合は、π/6≦θ<π/2 のときと、そこから半周ずつ回ったときに x=1 との交点の y 座標が 1/√3 以上となります。θπ/2 や θ=3π/2 のように θy 軸上の点を表す角度のときは tanθ が定義されていないので、青色部分

tanθ≧1/√3 ⇔ π/6+πnθπ/2+πn

の最後の不等号にイコールがつかないことに注意してください。


p.194 例題98の解答について解説します。

cos2θ=-√3/2 のとき、2θ は 5π/6 のところか -5π/6 のところにあるので、式にすると 2θ=±5π/6+2πn であり、両辺を2で割ると θ=±5π/12+πn となります。

n に整数を代入して ±5π/12+πn が 0 以上で 2π より小さくなる場合を考えると、

5π/12+0 (n=0)

-5π/12+π (n=1)

5π/12+π (n=1)

-5π/12+2π (n=2)

の4つに限られ、これらを計算すると θ=5π/12, 7π/12, 17π/12, 19π/12 となります。


p.195 例題99の解答の2行目から3行目で、

θ=2πn, 2πn/5

θ=2πn/5

のように 2πn をなくしていますが、これは 0≦θ<2π の範囲で θ=2πn となるのが n=0 のときの θ=0 だけであり、それを θ=2πn/5 に含めることができるからです。

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