【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 4.3 nCrの性質

query_builder 2021/05/13
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【補足説明】

p.152 本文中で明確に書かれていませんが、二項定理とは以下の内容です。

二項定理:(a+b)n=nC0an+nC1an-1b+…+nCkan-kbk+…+nCnbn 一般項は nCkan-kbk


p.153 例題82の解答について説明します。

全体としては、(x3+2)10 を展開すると、10個の (x3+2) から x3 を7個と 2 を3個取り出したときに x21 の項ができ、そのような取り出し方は10個の (x3+2) のうちどの3個から 2 を取り出すかで 10C3 通りあるので、x21 の項は 10C3x2123 となり、10C3×23 の部分が係数なのでそれを計算しているということです。

これをきれいにまとめると解答のようになります。1行目は二項定理を使って (x3+2)10 を展開し、展開した式をシグマ記号で表しています。10Ckx3k210-の k に0から10までの整数を入れていくと1つ1つの項ができますが、その中で x21 の項ができるのは、3k=21 つまり k=7 のときです。


p.154 演習82の解答について説明します。

解答の流れは例題82と同じです。1つ1つの項は、分子に x2k が、分母に x7-k があるので、指数法則により x の指数は 2k-(7-k) となります。これが 5 となる項を考えればよいので、2k-(7-k)=5 つまり k=4 のときの係数を計算します。

指数法則については『稲荷の独習数学』のp.12を確認しましょう。


p.155 演習83の解答について説明します。

(2+x-3/x)5 を展開するとき、5個の (2+x-3/x) からそれぞれ 2, x, -3/x のどれかを取り出してかけますが、このとき x と -3/x を同じ個数だけ取り出せば分母と分子の x の個数が同数になり、定数項ができます。2, x, -3/x を合わせて5個取り出すことから、x と -3/x を取り出す個数は 0個ずつ, 1個ずつ, 2個ずつ の3通りに限られます。


p.155 P.13で確認したパスカルの三角形の図を組合せを使って表すと次のようになります。 

これを見ると、たしかに nCk+nCk+1=n+1Ck+1 であることが確認できます。


p.156 演習84の解答について説明します。

1行目の式変形は、パスカルの三角形より kCl+kCl+1=k+1Cl+1 つまり kCl=k+1Cl+1kCl+1 を使っています。

1行目の式の右辺をシグマ記号を使わずに表すと、

(l+1Cl+1lCl+1)+(l+2Cl+1l+1Cl+1)+(l+3Cl+1l+2Cl+1)+…+(n+1Cl+1nCl+1)

となります。この式でかっこをはずすと、1番目と4番目の項が相殺されてなくなり、3番目と6番目の項が相殺されてなくなり、・・・というようにどんどんと項がなくなっていき、結局、2番目の項と最後から2番目の項だけが残るので、n+1Cl+1lCl+1 となります。

最後の式変形は、問題文により lCl+1=0 なので、n+1Cl+1lCl+1=n+1Cl+1 です。

 

p.157 演習85Aと85Bはどちらも二項定理 (a+b)nnCkan-kbk を当てはめただけです。(シグマ記号の下と上が表示できませんが、k=0 と n です。)

85Aは a=1, b=-1 を、85Bは a=1, b=2 を、それぞれ代入しています。


p.158 演習86の解答について補足します。

1行目の式の右辺をシグマ記号を使わずに表すと、nn-1C0+nn-1C1+nn-1C2+…+nn-1Cn-1 です。

この式は n でくくって、n(n-1C0+n-1C1+n-1C2+…+n-1Cn-1) とすることができ、このかっこの部分だけをシグマ記号を使って表すと2行目の式になります。

②の変形は、2行目のシグマの部分が n-1C0+n-1C1+n-1C2+…+n-1Cn-1 なので、これを nCkk を0から n-1 まで変化させて足したものとみると、3行目の式になります。

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