【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド　3.3 対偶証明法と背理法 | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

【新しく習う言葉の読み】

空集合：くうしゅうごう

【補足説明】

p.139　青色部分の下2行に

Bの否定 ⇒ Aの否定：T　 ⇔ 　Bの否定∩A = Φ

とあります。(否定を表すバー(¯)が表示できないので「の否定」と書いています。)

まず、Φ は「ファイ」と読み、空集合(それに属する要素が1つもない集合)を表します。

青色部分の右にあるベン図からもわかるとおり、A⇒B が真のとき(集合Aが集合Bに含まれるとき)、Bの否定の集合はAの否定の集合に含まれていて、Bの否定とAの両方の集合に含まれるような集合は存在しません。これを式で表したのが Bの否定∩A=Φ です。

対偶証明法については、例題74を例に確認しておきましょう。

f(x)=x²+ax+b として、

条件A：f(x)<0 となる x∈R が存在する。

条件B：D=a²-4b>0 である。

とします。

問題は「条件Aが成り立つならば条件Bが成り立つ(※1)」ことを示せとなっていますが、これを示すのが難しいので、代わりに「条件Bの否定が成り立つならば条件Aの否定が成り立つ(※2)」ことを示すのが対偶証明法です。(※1)と(※2)の2つの命題は対偶の関係になっていて、これらの真偽が一致することはP.135で確認しています。

p.140　演習74の解答の4～5行目にある

2^kl-1=(2^k-1)(2^k(l-1)+2^k(l-2)+…+2^k+1)

の式変形について解説します。

p.13で確認した指数法則 (a^b)^c=a^bc を使うと

(2^k)^l =2^kl

であり、解答の前に確認した公式

aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+…+ab^n-2+b^n-1)

に a=2^k, b=1, n=l を代入すると、このような式変形になります。