【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 3.3 対偶証明法と背理法
【新しく習う言葉の読み】
空集合:くうしゅうごう
【補足説明】
p.139 青色部分の下2行に
Bの否定 ⇒ Aの否定:T ⇔ Bの否定∩A = Φ
とあります。(否定を表すバー(¯)が表示できないので「の否定」と書いています。)
まず、Φ は「ファイ」と読み、空集合(それに属する要素が1つもない集合)を表します。
青色部分の右にあるベン図からもわかるとおり、A⇒B が真のとき(集合Aが集合Bに含まれるとき)、Bの否定の集合はAの否定の集合に含まれていて、Bの否定とAの両方の集合に含まれるような集合は存在しません。これを式で表したのが Bの否定∩A=Φ です。
対偶証明法については、例題74を例に確認しておきましょう。
f(x)=x2+ax+b として、
条件A:f(x)<0 となる x∈R が存在する。
条件B:D=a2-4b>0 である。
とします。
問題は「条件Aが成り立つならば条件Bが成り立つ(※1)」ことを示せとなっていますが、これを示すのが難しいので、代わりに「条件Bの否定が成り立つならば条件Aの否定が成り立つ(※2)」ことを示すのが対偶証明法です。(※1)と(※2)の2つの命題は対偶の関係になっていて、これらの真偽が一致することはP.135で確認しています。
p.140 演習74の解答の4~5行目にある
2kl-1=(2k-1)(2k(l-1)+2k(l-2)+…+2k+1)
の式変形について解説します。
p.13で確認した指数法則 (ab)c=abc を使うと
(2k)l =2kl
であり、解答の前に確認した公式
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)
に a=2k, b=1, n=l を代入すると、このような式変形になります。
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