【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 3.3 対偶証明法と背理法

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【新しく習う言葉の読み】

空集合:くうしゅうごう


【補足説明】

p.139 青色部分の下2行に

Bの否定 ⇒ Aの否定:T  ⇔  Bの否定∩A = Φ

とあります。(否定を表すバー(¯)が表示できないので「の否定」と書いています。)

まず、Φ は「ファイ」と読み、空集合(それに属する要素が1つもない集合)を表します。

青色部分の右にあるベン図からもわかるとおり、AB が真のとき(集合Aが集合Bに含まれるとき)、Bの否定の集合はAの否定の集合に含まれていて、Bの否定とAの両方の集合に含まれるような集合は存在しません。これを式で表したのが Bの否定∩A=Φ です。


対偶証明法については、例題74を例に確認しておきましょう。

f(x)=x2+ax+b として、

条件Af(x)<0 となる xR が存在する。

条件BD=a2-4b>0 である。

とします。

問題は「条件Aが成り立つならば条件Bが成り立つ(※1)」ことを示せとなっていますが、これを示すのが難しいので、代わりに「条件Bの否定が成り立つならば条件Aの否定が成り立つ(※2)」ことを示すのが対偶証明法です。(※1)と(※2)の2つの命題は対偶の関係になっていて、これらの真偽が一致することはP.135で確認しています。


p.140 演習74の解答の4~5行目にある

2kl-1=(2k-1)(2k(l-1)+2k(l-2)+…+2k+1)

の式変形について解説します。

p.13で確認した指数法則 (ab)c=abc を使うと

(2k)l =2kl

であり、解答の前に確認した公式

an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)

に a=2k, b=1, n=l を代入すると、このような式変形になります。

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