【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 2.6 解と係数の関係の逆

query_builder 2021/04/10
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【補足説明】

p.102 青色部分に

α+β=p, αβ=q のとき、α, β を解にもつ2次方程式は x2-px+q=0 である

とありますが、これについて補足しておきます。

方程式は両辺に同じ数をかけてもよいので、分かりやすいように x2 の係数を1にしておいて2次方程式を表すと x2+bx+c=0 と表せます。この2次方程式の2解を α, β とすると、解と係数の関係より α+β=-b, αβ=c であり、α+β=p, αβ=q のときは b=-p, c=q となります。そのため、2解 α, β において  α+β=p, αβ=q が成り立つ2次方程式は  x2-px+q=0 となります。


p.104 1つ目の青色部分に

方程式 f(x)=g(x) の実数解 ⇔ y=f(x), y=g(x) のグラフの交点の x 座標

とあります。これを具体例で確認してみましょう。

たとえば f(x)=x2+2x-1, g(x)=3x+1 とすると、f(x)=g(x) ⇔ x2+2x-1=3x+1 であり、この方程式を解くと次のようになります。

 x2+2x-1=3x+1

x2-x-2=0

⇔ (x+1)(x-2)=0

x=-1, 2

これが f(x)=g(x) の実数解ですが、本当に y=f(x), y=g(x) のグラフの交点の x 座標になっているか確認してみましょう。

y=x2+2x-1=(x+1)2-2 と y=3x+1 のグラフは下のようになります。

たしかに、x 座標が -1, 2 のところで2つのグラフが交わることが確認できました。


さらに、

方程式 f(x)=g(x) の実数解 ⇔ y=f(x), y=g(x) のグラフの交点の x 座標

において g(x)=0 とすると、y=g(x) のグラフは x 軸と重なるので、

f(x)=0 の実数解 ⇔ y=f(x) のグラフと x 軸の交点の x 座標

となります。

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