【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 2.5 解と係数の関係

query_builder 2021/04/07
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【補足説明】

p.99 3~5行目に ax2+bx+c=0 が x=α を解にもつときに ax2+bx+c=(x-α)f(x) と表すことができる、とあります。この部分について解説しておきます。

ax2+bx+c=0 が x=α を解にもつというのは、2++c=0 が成り立つということであり、このときp.99の2行目の青色部分から、ax2+bx+c が (x-α) を因数にもつことがわかります。これを式に表したのが ax2+bx+c=(x-α)f(x) です。

(x-α) を因数にもつというのは、(x-α) と整式のかけ算で表せるということであり、整式の部分がどんな整式かわからないので f(x) を使って (x-α)f(x) と表しています。


P.100 1~6行目の説明について補足します。ax2+bx+c=0 の2解を α, β とすると、2次式 ax2+bx+cax2+bx+c=a(x-α)(x-β) と因数分解でき、この右辺を展開すると ax2+bx+c=ax2-a(α+β)x+aαβ となります。この等式において、x の係数は両辺で等しいので b=-a(α+β) であり、定数項も両辺で等しいので c=aαβ です。これらの等式を変形すると、α+βαβ の値を2次式の係数 a, b, c を使って表すことができ、これを解と係数の関係といいます。

解と係数の関係を使うと、たとえば 2x2+4x-30=0 という2次方程式の解を α, β とすると、αβ それぞれの値を求めなくても α+β の値を α+β=-4/2=-2 と求められます。実際に  2x2+4x-30 を因数分解してみると 2x2+4x-30=2(x-3)(x+5) であり、2解が x=3, -5 であることがわかるので、たしかに2つの解の和が -2 となっていることが確認できます。

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