【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 1.9.3 剰余集合

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【新しく習う言葉の読み】

剰余類:じょうよるい

背理法:はいりほう


【補足説明】

p.78 1つ目の証明の1~2行目にある「mi, mjn で割った余りが等しいとすると、mj-mi=m(j-i) は n の倍数となる」の部分を一般的に表すと、証明のすぐ下の青く塗られた部分になります。これは、k, l, m を整数として、a, ba=nk+m, b=nl+m と表すと、a-b=nk+m-(nl+m)=n(k-l) となることから確認できます。

また、その下の青く塗られた部分は、証明の2~3行目にある「m(j-i) は n の倍数となる。ところが、m, n は互いに素であるから、j-in の倍数となる」の部分の具体例です。


p.78 フェルマーの小定理の証明の流れを示すと次のようになります。

p が素数で、pn が互いに素であるとき、n, 2n, 3n, …, (p-1)np-1 個の整数を p で割った余りの集合は {1, 2, 3, …, p-1} となる。

n・2n・3n・…・(p-1)n と 1・2・3・…・(p-1) をそれぞれ p で割った余りは等しい。

③ n・2n・3n・…・(p-1)- 1・2・3・…・(p-1)=np-1(p-1)! - (p-1)!=(np-1-1)(p-1)! は p の倍数である。

④ np-1-1 は p の倍数である。よって、np-1-1=pk ⇔ np-1=pk+1 より、np-1≡1 (mod p)


①は78ページの上の方で確認した内容とほとんど同じです。n, 2n, 3n, …, (p-1)n, pnn 個の整数を p で割った余りの集合は {0, 1, 2, 3, …, p-1} となりますが、pnp で割った余りが0なので、①のように書くことができます。①から②へは74ページで学んだ合同式の性質を利用していて、②から③への議論は78ページで確認した通りです。③から④への議論も78ページで確認した通り、(p-1)! と p が互いに素だから np-1-1 が p の倍数となります。(p-1)! と p が互いに素だといえるのは、p が素数であるために、それより小さい整数をかけ合わせた (p-1)! に素因数 p が含まれないからです。

証明の中で説明されている通り、n の階乗(かいじょう)は n(n-1)(n-2)・…・3・2・1 のことで、たとえば5の階乗であれば 5!=5・4・3・2・1=120 です。

証明の流れについて納得できたら、何も見ずに自分で証明を書いてみましょう。

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