【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 1.9.1 整数方程式

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【補足説明】

p.70 例題39の方程式の左辺は、最初の2つの項を x でくくると

xy-2x-2y=x(y-2)-2y

となります。ここに4を足せば、下のように y-2 が共通因数になり、因数分解できるようになります。

x(y-2)-2y+4=x(y-2)-2(y-2)=(x-2)(y-2)

そのため、もとの方程式 xy-2x-2y=2 の両辺に4を足して因数分解しています。

x(y-2)-2y+4=2+4  ⇔  (x-2)(y-2)=6

この左辺を因数分解した方程式をみると「x-2 と y-2 をかけて6」となっていますが、x-2 と y-2 はどちらも整数で、かけて6になるためにはどちらも正の数かどちらも負の数になります。このような条件を満たすように x-2 と y-2 の値の組を考えると解答の表のようになり、方程式を解くことができます。


p.72 演習40の考え方は例題40の「大小関係に注目して条件を絞っていく」やり方とほとんど同じですが、未知数の個数が増えて解答が少し複雑になっています。全体の流れを確認しておきましょう。

まず、xyz の場合で考えると、x=3, 4, 5, 6 に限られることが分かります。例題40と同じで、(x, y, z)=(6, 6, 6) が解の1つであり、y, zx 以上の値にすると x は6以下の値になりますが、x を2以下の値にすることはできないからです。(ここまでが解答の6行目までです)

次に、x を3, 4, 5, 6 のそれぞれの値で固定すると、方程式の未知数が y, z の2つになり、例題40と同じ方法で yz のときの解を求めることができます。(ここまでが73ページの9行目までです)

これで、xyz の場合の解が下の10個であることが分かります。

(x, y, z)=(3, 7, 42), (3, 8, 24), (3, 9, 18), (3, 10, 15), (3, 12, 12), (4, 5, 20), (4, 6, 12), (4, 8, 8), (5, 5, 10), (6, 6, 6)

このそれぞれについて、x, y, z の順番を変えたものも解になるので、それらを全て書き出せば解答のようになります。(3, 7, 42) のように3つの値が全て異なる場合はその並べ方は6通りあり、(3, 12, 12) のように2つの値が同じ場合は並べ方は3通りです。

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