【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド　1.8.3 不等式の証明とその利用(2) 三角不等式 | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

【新しく習う言葉の読み】

同値：どうち

【補足説明】

p.60　y=|x| のグラフは、x≧0 のときに y=x のグラフ、x<0 のときに y=-x のグラフになります。下にそれぞれのグラフを載せますが、y=|x| のグラフが x の値に関わらず y=x および y=-x のグラフと同じかそれより上にあることから、|x|≧x, |x|≧-x であることが確認できます。

p.60　「max{a, b}：a, b の小さくない方」とあります。maxとは「最大」という意味ですが、a, b の「大きい方」ではなく、あえて「小さくない方」と表現されています。これは、a=b のときに max{a, b}=a=b となり、a, b の大きい方とは言えないからです。

同じことで、min{a, b} についても、a=b のときには min{a, b}=a=b となるため、「a, b の大きくない方」と表現します。

p.60　ページの真ん中あたりにある max{a, b} を表した式についてです。

p.61　三角不等式の証明の1行目に ||a|-|b||≦|a+b| ⇔ ||a|-|b||²≦|a+b|² とありますが、一般に x≧0, y≧0 のときに x≦y ⇔ x²≦y² という同値変形が成り立ちます。これは、下の図のように x, y を正方形の一辺とすると、x², y² が正方形の面積となり、x, y の大小関係と x², y² の大小関係が一致するからです。

しかし、-3≦2 は成り立っても (-3)²≦2² は成り立たないように、x≧0, y≧0 でないときには

 x≦y ⇔ x²≦y² という同値変形は成り立ちません。

今回は、||a|-|b|| と |a+b| がともに0または正の値なので、 ||a|-|b||≦|a+b| を ||a|-|b||²≦|a+b|²と変形できるということです。

それから、証明の3行目で |a+b|²=a²+2ab+b² と変形していますが、絶対値で表された式は2乗することで絶対値をはずすことができます。念のために確認しておくと、次のようになります。

a+b≧0 のとき、|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²

a+b<0 のとき、|a+b|²={ -(a+b)}²=(a+b)²=a²+2ab+b²