【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド 1.8.2 不等式の証明とその利用(2) コーシーシュワルツの不等式

query_builder 2021/01/29
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【補足説明】

p.57 1つ目の青く塗られた部分の不等式はコーシーシュワルツの不等式です。この不等式の等号成立条件(2つ目の青く塗られた部分)について、式変形を確認しておきましょう。

ad-bc=0  ⇔  ad=bc

両辺を bd で割って  a/b=c/d  ⇔  a:b=c:d


p.58 コーシーシュワルツの不等式の (a2+b2)(c2+d2)≧(ac+bd)2 を平面版とすると、空間版は (a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≧(ad+be+cf)2 とあります。この空間版の不等式の左辺についても、平面版と同じように座標で考えることができます。

平面座標については中学数学で学びますが、空間座標では x 軸と y 軸にさらに z 軸を加えて考えます。z 軸は xy 平面の原点を通り xy 平面に垂直な軸です。空間座標も平面座標と同様に、x 座標が ay 座標が bz 座標が c の点Aがあれば、その座標を (abc) と表します。

この点Aと原点Oの距離の2乗が三平方の定理により a2+b2+c2 となります。同様に、点Bの座標を (def) とすると点Oと点Bの距離の2乗が d2+e2+f2 であり、コーシーシュワルツの不等式の空間版でもその左辺は OA2 と OB2 の積となります。

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