【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド　1.8.2 不等式の証明とその利用(2) コーシーシュワルツの不等式 | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

【補足説明】

p.57　1つ目の青く塗られた部分の不等式はコーシーシュワルツの不等式です。この不等式の等号成立条件(2つ目の青く塗られた部分)について、式変形を確認しておきましょう。

ad-bc=0  ⇔  ad=bc

両辺を bd で割って  a/b=c/d  ⇔  a:b=c:d

p.58　コーシーシュワルツの不等式の (a²+b²)(c²+d²)≧(ac+bd)² を平面版とすると、空間版は (a²+b²+c²)(d²+e²+f²)≧(ad+be+cf)² とあります。この空間版の不等式の左辺についても、平面版と同じように座標で考えることができます。

平面座標については中学数学で学びますが、空間座標では x 軸と y 軸にさらに z 軸を加えて考えます。z 軸は xy 平面の原点を通り xy 平面に垂直な軸です。空間座標も平面座標と同様に、x 座標が a、y 座標が b、z 座標が c の点Aがあれば、その座標を (a, b, c) と表します。

この点Aと原点Oの距離の2乗が三平方の定理により a²+b²+c² となります。同様に、点Bの座標を (d, e, f) とすると点Oと点Bの距離の2乗が d²+e²+f² であり、コーシーシュワルツの不等式の空間版でもその左辺は OA² と OB² の積となります。