【通信 塾】『稲荷の独習数学』ガイド　1.4 剰余 | オンライン上での通信制コースをお届けし塾の運営側よりコラム記事などの情報を発信

【新しく習う言葉の読み】

除法定理：じょほうていり

剰余の定理：じょうよのていり

【補足説明】

p.32　ページ中央の剰余の定理についての説明を補足します。

「f(x) を x-α で割ったときの余りは x-α より次数が小さい」とありますが、x-α は x の1次式なので余りは定数項になり、β で表すことができます。そのため、f(x)=(x-α)g(x)+β と表すことができ、この式に x=α を代入すると、左辺は f(α) です。右辺の (x-α)g(x) の部分は (α-α)g(α) つまり 0×g(α) となるので、右辺には β だけが残り、結局 f(α)=β となります。

もし、f(x) を x-α で割ったときの余りが x-α より次数が小さくないとすれば、その余りはまだ x-α で割ることができます。たとえば、x²-x+3 を x-2 で割った式を

x²-x+3=(x-2)(x-1)+2x+1

と表し、2x+1 が余りだとするのは誤りです。2x+1 はまだ x-2 で割ることができ、2x+1=2(x-2)+5 なので

x²-x+3=(x-2)(x-1)+2x+1=(x-2)(x-1)+2(x-2)+5=(x-2)(x+1)+5

となり、余りは定数項の5だけになります。

p.39　上から8行目の f(x)=(x-1)2{(x+1)²g(x)+x+3}+6x-2 の式は、p.38の下から7行目の①の式に a=1, b=3 を代入したものです。